решение задачи №552 математика 4 класс

    3   Решение задачи суммирования Найдем сумму S = f(х0) + f(х0 + h)+ЂЂЂ+ f(х0 + nh), если известно, что f(x) удовлетворяет равенству: ЂЂЂPF(x)P=Pf(x). Подставим в обе части этого соотношения значения переменной х: х0, х0 + h, ЂЂЂ, х0 + nh. Получим равенства: F(x0 + h) ЂЂЂ F(x0) = f(x0), F(x0 + 2 h) ЂЂЂ F(x0 + h) = f(x0 + h), F(x0 + 3 h) ЂЂЂ F(x0 + 2 h) = f(x0 + 2h), ЂЂЂ F(x0 + (n+1) h) ЂЂЂ F(x0 + n h) = f(x0 + nh). Сложим левые и правые части записанных соотношений, тогда, исключая противоположные слагаемые, слева получим F(x0 + (n + 1)h) ЂЂЂ F(x0), в правой части суммируются значения f(x), значит, будем иметь сумму S. Решение первой задачи имеет вид: S = F(x0 + (n + 1)h) ЂЂЂ F(x0). Пример. Вычислить сумму S = 12 + 22 + 32 + 42 +ЂЂЂ+ n2. Решение. Здесь суммируются значения f(x) = x2, при х0 = 0 и шаге h = 1. Рассмотрим разностное уравнение ЂЂЂPF(x)P=Px2. Из определения оператора конечной разности следует ЂЂЂPF(x)P= F(x + 1) ЂЂЂ F(x). Решим неоднородное рекуррентное уравнение F(x + 1) ЂЂЂ F(x). = x2. Суммирующей функцией для f(x)P=Px2 является F(x) =, значение констант можно найти методом неопределенных коэффициентов. Окончательно получим F(x)P=P. Значение суммы равно . Решение обратной задачи суммирования Рассмотрим вторую задачу в частном виде, положив шаг интерполяции h равным единице. Пусть известна сумма: Sn(x) = f(x) + f(x + 1) +ЂЂЂ+ f(x + n), найти функцию f(x). Суммирующая функция для f(x) имеет вид F(x)=S[x]ЂЂЂ1({x}), где [x], {x} ЂЂЂ целая и дробная части х соответственно. Тогда f(x) = ЂЂЂS[x]ЂЂЂ1({x}). Тождество Абеля Одним из способов суммирования произведения двух функций является суммирование с помощью тождества Абеля, имеющего вид: , где А(х)P=Pа(1) + а(2) + ЂЂЂ + а(х). Этот приём суммирования ЂЂЂ аналог интегрирования по частям. Здесь также важно правильно выбрать множители а(х + 1) и b(x + 1) таким образом, чтобы сумма в правой части была более простой для вычисления по сравнению с левой частью. ^ Обобщенная степень Выражение следующего вида будем называть обобщенной степенью: (x ЂЂЂ x0) ((x ЂЂЂ x0) ЂЂЂ h) ((x ЂЂЂ x0) ЂЂЂ 2h) ЂЂЂ ((x ЂЂЂ x0)ЂЂЂ (kЂЂЂ1)h) = (x ЂЂЂ x0). Рассмотрим частный случай: при х0 = 0, h = 1, обобщенная степень с показателем k определяется равенством:. Для этой функции выполняется соотношение: . Отсюда . Обобщенная степень с отрицательным показателем определяется выражением: . Частный случай: . Для отрицательной степени выполняется равенство, аналогичное положительной обобщенной степени: , тогда . Если положить нулевую обобщенную степень равной единице х(0) = 1, то конечная разность . Таким образом, можно записать общую формулу для произвольной обобщенной степени: , s ЂЂЂ любое целое число. Упражнения 1. Вычислите следующие суммы: а) 1ЂЂЂ1! + 2ЂЂЂ2! + 3ЂЂЂ3! + ЂЂЂ + nЂЂЂn!, б) 1ЂЂЂ2ЂЂЂ3 + 2ЂЂЂ3ЂЂЂ4 + ЂЂЂ + (n ЂЂЂ 2)(n ЂЂЂ 1)n, в) 13 + 23 + 33 + 43 +ЂЂЂ+ n3, г) , д) sin x + sin (x + h) + sin (x + 2h) + ЂЂЂ + sin (x + nh). Решение: а) необходимо суммировать значения функции f(n)=nЂЂЂn!. Составим разностное уравнение ЂЂЂ F(n) = f(n). Найдём суммирующую функцию F(n). Решив разностное уравнение ЂЂЂ F(n) = nЂЂЂn!, получим F(n) =n!. Тогда значение суммы равно 1ЂЂЂ1! + 2ЂЂЂ2! + 3ЂЂЂ3! + ЂЂЂ + nЂЂЂn!= F(n+1)ЂЂЂF(0)=(n+1)!ЂЂЂ1. д) решим разностное уравнение ЂЂЂ F(t) = sin (x + t). Получим функцию F(t)P=P. Вычислим сумму S = sin x + sinP (x + 1) + ЂЂЂ + sin (x + n) с помощью полученной суммирующей функции: S= . 2. Используя тождество Абеля, вычислите суммы: а) x + 2x2 + 3x3 + ЂЂЂ + nxn, б) 1ЂЂЂ2 + 2ЂЂЂ3ЂЂЂx + 3ЂЂЂ4ЂЂЂx2 +ЂЂЂ + n(n + 1)xn-1, в) . Решение: а) возьмем в качестве a(t) функцию xt, в качестве b(t) ЂЂЂ t. Тогда A(t) = x0 + x1 +ЂЂЂ+ xt =, ЂЂЂb(t) = t + 1ЂЂЂ t =1. Окончательно получим: x + 2x2 + 3x3 + ЂЂЂ + nxn = == ==+. 3. Используя рекуррентности, вычислите суммы в следующих задачах: а) разобьем ряд натуральных чисел в группы: 1, (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), ЂЂЂ Найдите сумму чисел n-ой группы. б) вычислите произведение (1 + 2) (3 + 4 + 5)(6 + 7 + 8 + 9) ЂЂЂ, состоящее из n множителей. в) возвратная последовательность {an} определяется соотношением: an ЂЂЂ 2an-1 ЂЂЂ 3an-2 = 0. Выразите через a1, a2 и x следующую сумму: a1x + a2x2 + a3x3 + ЂЂЂ + anxn. 4. Решите разностные уравнения: а) ЂЂЂ f(x) = xЂЂЂf(x), б) ЂЂЂ f(x) + xЂЂЂf(x)= (x +1)!, в) ЂЂЂ2 f(x) = x2.Задания для самостоятельной работы 1. Вычислите следующие суммы: а) 1 ЂЂЂ 22 + 32 ЂЂЂ ЂЂЂ + (ЂЂЂ1)nЂЂЂ1n2, б) 14 + 24 + 34 + ЂЂЂ +n4, д) cos x + cos (x + h) + cos (x + 2h) + ЂЂЂ + cos (x + nh). 2. Используя тождество Абеля, вычислите суммы: а) x + 22x2 + 32x3 + ЂЂЂ + n2xn, б) 1 + 9 + 45 + 189 + 729 + ЂЂЂ + (2n

0.49 Mb.Название страница3/4Дата конвертации09.10.2012Размер0.49 Mb.Тип источник

Решение задачи суммирования - Дискретная математика. Алгебра отношений